问答题

已知数列f(n)的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n；
若a₁=f(1)，a_n+1=f(a_n)(n∈N^*)，求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的前n项和T_n．

【参考答案】

a₁=f(1)=3，a_n+1=2a_n+1(n∈N^*)．
即a_n+1+1=2(a_n+1)．
∴数列{a_n+1}是首项为4、公比为2的等比数列．
a_n+1=(a₁+1)·2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴a_n=2ⁿ⁺¹-1(n∈N^*)．
T_n=(2²+2³+…+2ⁿ⁺¹)-n=2ⁿ⁺²-4-n．

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