问答题设R是一个整环,如果有一个R*=R-{0}到非负整数集的映射φ满足 1)对R中任意元素a及b≠0,有q,r∈R,使a=bq+r,r=0或φ(r)〈φ(b); 2)对R中任意非零元素a,b都有φ(ab)≥φ(a),则称R是一个V欧氏环. 证明:V欧氏环必有单位元,从而是欧氏环.
问答题证明:Gauss整环Z[i]关于映射φ:a∣bi→a2+b2作成一个欧氏环.
问答题问:有理数域上多项式环Q[x]的理想 〈x2+1,x5+x3+1〉 等于哪个主理想?
问答题证明:凡域一定是欧氏环.
问答题证明:主理想整环K中的元素a1,a2,...,an互素的充要条件是,存在b1,b2,...,bn∈K,使a1b1+a2b2+...+anbn=1.