简答题

设K是一个惟一分解整环，0≠f（x）∈K[x]，且
f（x）=d₁f₁（x）=d₂f₂（x），
其中d₁，d₂∈K，f₁（x）与f₂（x）是本原多项式.证明：d₁与d₂相伴，f₁（x）与f₂（x）也相伴.

问答题证明：对欧氏环R可定义一个映射使其成为一个V欧氏环.

问答题设R是一个整环，如果有一个R*=R-{0}到非负整数集的映射φ满足 1）对R中任意元素a及b≠0，有q，r∈R，使a=bq+r，r=0或φ（r）〈φ（b）； 2）对R中任意非零元素a，b都有φ（ab）≥φ（a），则称R是一个V欧氏环． 证明：V欧氏环必有单位元，从而是欧氏环.

问答题证明：Gauss整环Z[i]关于映射φ：a∣bi→a2+b2作成一个欧氏环.

问答题问：有理数域上多项式环Q[x]的理想 〈x2+1，x5+x3+1〉 等于哪个主理想？

问答题证明：凡域一定是欧氏环．