简答题

两个n阶循环环R与同构的充分与必要条件是，存在整数k（0≤k〈n）并在R与中分别有生成元a与满足
a²=ka，²=k.

问答题设n=p1k1p2k2...pmkm是n>1的标准分解式．证明：剩余类环Zn有p1k1-1p2k2-1...pmkm-1个幂零元．

问答题设g（x）是系数属于域Zp（p是素数）的一个多项式．证明：[g（x）]p=g（xp）.

问答题证明Euler定理：设n是正整数，又（a，n）=1，则aφ（n）≡1（modn），其中φ（n）是欧拉函数．

问答题证明：实数域的自同构只有恒等自同构。

问答题设R是一个环，u∈R.证明：R对以下二运算 a⊕b=a+b-u， a·b=ab-au-ub+u2+u. 作成一个环且与原来的环R同构．