计算题

设二次型f（x₁，x₂，…，x_n）的矩阵为A，λ是A的特征多项式的根，证明：存在Rⁿ中的非零向量使得。

问答题设f（x1，x2，…，xn）=X’AX是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值多项式的跟，且λ1≤λ2≤…≤λn，证明：对任一X∈Rn，有λ1X’X≤X’AX≤λnX’X。

问答题设A是n级实对称矩阵，且A2=E，证明：存在正交矩阵T使得。

问答题证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。

问答题证明：正交矩阵的实特征根为±1。

问答题求下列方程的最小二乘解： 用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解，（用三位有效数字计算）。