计算题

试证明Vasicek与CIR模型中，现实测度下瞬时利率的方差将分别趋于

问答题试证明Vasicek模型与CIR模型中，现实测度下瞬时利率的长期均值均为μ。

问答题请回顾并说明动态利率期限结构模型优劣的判断标准。

问答题请思考并说明动态利率期限结构模型与静态利率期限结构模型的差异与它们各自的适用之处。

问答题假设有如下三只债券： 债券面值均为100，每年付息一次。构造蝶式策略：出售10000份10年期债券，购入S单位的5年期债券和L单位的30年期债券。 （1）如果要求蝶式策略现金中性，S和L的数值分别为多少？ （2）如果5年期利率（利率均为一年计一次复利）下降20基点、10年期利率不变，30年期利率上升20个基点，上述现金中性的蝶式策略损益如何？如果5年期利率下降20个基点、10年期利率不变，30年期利率上升10个基点，上述现金中性的蝶式策略损益又如何？ （3）（2）中的条件不变，构造“五五开”蝶式策略并分析损益。 （4）（2）中的条件不管，构造回归加权的蝶式策略并分析损益。其中，β系数等于0.4。

问答题投资者的投资期为1年。他预计6个月后，利率期限结构将水平上移1%（利率均为连续复利）。当前的6个月和1年期即期利率分别为4%和4.5%。他有两种备选投资方案： （1）购买1年期零息票债券持有到期； （2）购买6个月期的零息票债券并持有到期，之后将所获资金按当时的市场利率再购买6个月期的零息票债券并持有到期。 请比较两种策略的投资收益。从上面的计算中，你能得到什么结论？如果6个月后利率期限结构水平下移1%呢？

问答题假设t时刻有三只零息票债券（利率均为连续复利）： 投资者的投资期限为6个月。他有三种备选投资方案： （1）持有债券1到期，之后将所获资金按当时的市场利率投资于债券2； （2）持有债券2到期； （3）持有债券3，并在6个月后将其售出。 如果未来的利率期限结构不变，请分别计算三种策略的投资收益；如果t时刻利率期限结构水平下移1%，请分别计算三种策略的投资收益；从上面的计算中，你能得到什么结论？

问答题请比较免疫策略与现金流匹配策略的异同。

问答题如何理解保守的组合管理与积极的组合管理之间的区别？

问答题假设当前某公司持有一个债券组合A，已知该组合市场价值为1020万美元，久期和凸性分别为4.20和60.50，为了抵御利率变动的风险，该公司决定利用市场上存在的两种债券进行对冲。其中，债券B的本金为100美元，剩余期限为3年，息票率为6%，每半年付息一次，到期收益率为5%；债券C的本金为100美元，剩余期限为8年，息票率为8%，每年付息一次，到期收益率为7%。假设市场允许卖空，为了使资产价值对利率的一阶和二阶敏感性都为0，请计算该公司必须持有的债券B和债券C的数量。

问答题设某固定利率债券本金为100美元，剩余期限为5年，息票率为6%，每年付息一次，到期收益率为5%（连续复利），请计算： （1）该债券的凸性和美元凸性。 （2）假设其他条件保持不变，请分别计算当剩余期限变为1年和10年时，该债券的凸性。 （3）假设其他条件保持不变，请分别计算当息票率变为1%和10%时，该债券的凸性。 （4）假设其他条件保持不变，请分别计算当到期收益率变为1%和10%时，该债券的凸性。 （5）结合以上结论，你认为影响债券凸性的因素主要有哪些？

问答题假设某逆向浮动利率债券剩余期限为2年又3个月，每半年付息一次，支付利率为10%-LIBOR，其中LIBOR表示上一个支付日的6个月期LIBOR利率，若上一个支付日观察到的6个月期LIBOR利率为5%，设当前市场利率期限结构是平的，LIBOR利率均为6%，请计算该逆向浮动利率债券的久期。（提示：可以先把逆向浮动利率债券拆分成本金相同、期限相同的两份息票率为5%的固定利率债券多头和一份参考利率为LIBOR的浮动利率债券空头的组合，再利用债券组合的久期求解）

问答题假设某债券组合中包含50份债券A和20份债券B。其中债券A的本金为100，剩余期限为3年，息票率为4%，每半年付息一次；债券B的本金为100，剩余期限为10年，息票率为8%，每年付息一次。假设市场利率期限结构是平的，均为6%（连续复利），请计算该投资组合的久期和凸性。

问答题假设有一个3年期固定利率债券，本金为100，息票率为6%，每半年付息一次，若该债券的到期收益率为8%（连续复利），请计算： （1）该债券的久期、凸性、美元久期和美元凸性。 （2）当到期收益率上升1%时，使用久期的方法计算债券价格的变动。 （3）当到期收益率上升1%时，同时使用久期和凸性计算债券价格的变动。 （4）用9%的到期收益率计算债券价格真实变动，并与前面的结果进行比较。

问答题假设NS模型中的参数初始值分别为：β0=5%，β1=1.5%，β2=1%，m=3。假设β1和β2都取值为在[-6%，6%]的区间内变动的整数，请画出β1和β2初始取值和不同取值时的利率期限结构并分析斜率参数和曲度参数变化的影响。假设将NS模型拓展为NSS模型，新增的参数初始值分别β3=-1%和m2=0.3。如果β3也是在[-6%，6%]的区间内变动的整数，请画出NSS模型参数在初始取值和不同取值下的利率期限结构，并进一步分析新增参数β3的作用。

问答题利率期限结构估计中的基本约束条件B（0，0）=1也可以用矩阵表达为NTβ=1。请写出三次基样条函数（4.11）和三次指数样条函数（4.12）下，N分别等于多少？