共用题干题若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。 证明：p-环是正则环，但反之不成立。

问答题设R是一个有单位元（用l表示）的有限环。证明：如果ab=1，则ba=1。

问答题设R是一个Jacobson环，即对R中每个元素a都有与a有关的整数n>1使an=a。证明：R的幂等元都是中心元。

问答题设R为布尔环，即环R中每个元素x都有x2=x，证明：若|R|≥3，则R不是整环。

问答题设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）。证明：若有二互素的整数m和n使am=bm，an=bn，则必a=b。

问答题设R是一个有单位元的环。如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元。证明卡普兰斯基定理：设R是一个有单位元（用l表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元。