计算题 设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）。证明：若有二互素的整数m和n使a^m=b^m，aⁿ=bⁿ，则必a=b。

问答题设R是一个有单位元的环。如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元。证明卡普兰斯基定理：设R是一个有单位元（用l表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元。

问答题设R是一个有单位元（用l表示）的环，a，b∈R，证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元。

问答题证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元。

问答题给出两个不同构的无限非交换环。

问答题设N是环R的一个理想，证明：如果N有单位元，则N是R的一个直和项，即存在R的理想N′使R=N⊕N′。