计算题

不同形状的催化剂颗粒上的反应-扩散问题可用以下方程描述

式中s为颗粒的形状指数，s=0为片形，s=1为长圆柱形，s=2为球形，D为内扩散系数，k为一级反应速率常数，h_m为外表面传质系数，c_b为流体相本体浓度。
（1）选择适当的特征尺度将问题无量纲化； 
（2）分别求取s=0，1，2时的粒内浓度分布；
（3）求催化剂有效系数与Thiele模数和Biot数之间的关系，并讨论这两个参数对的影响趋势。

问答题设为矩阵A的特征值，试根据特征向量方程（2.4.6）证明Sylvester定理（2.5.24） 。

问答题如图所示，两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V1和V2的溶液，初始时刻釜中溶质浓度分别为y10与y20，从t=0开始，两釜中的溶液以流量q通过管道泵送而相互交换，管道体积可以忽略，求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。

问答题对于系数矩阵请用下述方法求矩阵函数expAt。 （1） 待定系数法；  （2） lagrange插值法。

问答题用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。

问答题环形法兰上的散热问题可用以下方程描述式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T0为环境温度。边界条件为在内圆边界：r=r1处：T=T1，在外圆边界：r=r2处：T=T2，试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。