简答题 证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

问答题设环R有单位元（用1表示），又a，b∈R.证明：如果a+b=ab且1-a在R中有逆元，则ab=ba．

问答题证明：对有单位元的环来说，其加法满足交换律可以由环定义中其他条件推出．

问答题证明：加群G的全体自同态映射对以下运算 （σ-τ）a=σa+τa， （στ）a=σ（τa）（∀a∈G） 作成一个有单位元的环（称为加群G的自同态环）.

问答题如果环R中元素a满足a2=a，则称为R的幂等元．如果环R中个元素都是幂等元，则称R为布尔（G.Boole，1815-1864）环．

问答题设R为所有有理数对（x1，x2）作成的集合，加法与乘法分别为 （a1，a2）+（a1，a2）=（a1+b1，a2+b2）， （a1，a2）（a1，a2）=（a1b1，a2b2）. 问：R是否作成环？是否可换和有单位元？哪些元紊有逆元？