计算题

R-模M的任一子模序列
L1⊆L2⊆…⊆Ln⊆…
有n使L_n+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足升链条件，或称M为Noether模．
若R-模M的任子模序列
L1⊇L2⊇…⊇Ln⊇…
有n使L_n+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足降链条件，或称M为Artin模．
证明R-模M有合成序列当且仅当M既是Noether模又是Artin模。

问答题设φ是群G到群H上的同态，又 G=G1G2…Gr={1} 是G的合成序列．证明 H=H1φ（G2）…φ（Gr）={1} 中不同的子群也是H的合成序列．

问答题设G=G1⊃G2⊃…⊃Gr={1}为群G的合成序列，1为幺元，N是G是正规单子群．证明 中不同的群也是G的合成序列．

问答题给出加群Z的两个正规序列 Z20Z60Z{0}， Z49Z245Z{0} 的同构加细．

问答题证明有限群G为幂零群当且仅当对HG，C（G H）≠{1}．

问答题设G是有限幂零群．M为G的极大子群.证明MG.且G的每个sylow子群正规．