简答题 设R是一个有单位元的环.如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元．证明卡普兰斯基（I.Kaplansky）定理：设R是一个有单位元（用1表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元．

问答题设R是一个有单位元（用1表示）的环，a，b∈R.证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元．

问答题证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元．

问答题给出两个不同构的无限非交换环．

问答题作为加群，R有直和分解： R=ReR（1-e）；R=eR（1-e）R；R=eReeR（1-e）（1-e）Re（1-e）R（1-e）. 并分别称这三个直和分解为加群（R，十）关于幂等元e的左、右和双边Perice分解.

问答题eRe，eR（1-e）与（1-e）Re都是R的子环，且后二者还是零乘环.