共用题干题

设R为环，e是R的一个幂等元．又令
R（1-e）={r-re∣r∈R}，（1-e）R={r-er∣r∈R}，（1-e）R（1-e）={r-re-er+ere∣r∈R}.（R不一定有单位元）证明：

eRe，eR（1-e）与（1-e）Re都是R的子环，且后二者还是零乘环.

问答题R（1-e），（1-e）R分别为环R的左、右理想.

问答题设n1，n2，...，ns，是s个两两互素的正整数.证明：剩余类环Zn1n2...ns与Zn1，Zn2，...，Zns的外直和Zn1Zn2...Zns同构.

问答题设N是环R的一个理想.证明：如果N有单位元，则N是R的一个直和项，即存在R的理想N’使 R=NN’.

问答题设环R是环R1，R2，...，Rn的直和，即 R=R1R2...Rn. 证明：φi：a1+...+ai+...+an→ai是R到Ri的同态满射（称为正则投射），且 其中0是零同态，ε是R的恒等变换．

问答题设Z2={0，1}，且 R={（a1，a2，...，an）∣ai∈Z2}. 即R是n个环Z2的外直和.证明：R是一个布尔环.又R的特征为何？