简答题 证明：若a₁，a₂，...，a_m是整数环Z中m个整数，且其最大公因数是d，则〈a₁，a₂，...，a_m〉=〈d〉.

问答题证明：若NZ，且a是N中最小的正整数，则N=〈a〉.

问答题设S是环R的一个非空子集.证明：S的全体左（右）零化子作成R的一个左（右）理想．称其为S的左（右）零化理想.

问答题设R是环，a，b∈R.证明：aRb={arb∣r∈R}≤R.

问答题设R为任意环，a∈R.则易知 N={ra∣r∈R} 是R的一个左理想．若R是交换环，则当然NR.但是应注意，由于R不一定有单位元，故不一定有a∈N.从而也不能说N是由a生成的理想．

问答题两个n阶循环环R与同构的充分与必要条件是，存在整数k（0≤k〈n）并在R与中分别有生成元a与满足 a2=ka，2=k.