计算题

设R为交换整环，M是秩n的自由R-模，u1，u2，…，un为一组基，f1，f2，…，fn∈M，K=是M的子模，证明K是秩n的自由R-模当且仅当
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）≠0
且此时对∀x=x+K∈M/K有
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）·x=0

问答题设R为交换么环，η是R（n）的自同态．若η是R（n）的一一同态，试问η是否为R（n）的自同构？

问答题设R为交换么环，η是R（n）的自同态．试证η若为满自同态则必为R（n）的自同构．

问答题设X={x1，x2，x3}，求由生成的F（X）的正规子群五在K（X）中的指数．

问答题设S，T是群G的子集，且gSg-1⊆S，∀g∈G，试证：是G中包含T的最小正规子群，

问答题R-模M的任一子模序列 L1L2…Ln… 有n使Ln+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足升链条件，或称M为Noether模． 若R-模M的任子模序列 L1L2…Ln… 有n使Ln+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足降链条件，或称M为Artin模． 证明R-模M有合成序列当且仅当M既是Noether模又是Artin模。