简答题

设a是Gauss整环Z[i]的一个元素．证明：若∣a∣²=a=p是素数，则a是Z[i]的不可约元．又问：反之如何？

问答题设K是惟一分解整环，又u，v∈K，u≠0，且（u，v）=1，f（x）∈K[x].证明：在K的商域F中，若v u是f（x）的根，则 （u-v）∣f（1），（u+v）∣f（-1）.

问答题设F是惟一分解整环K的分式域.如果在F[x]中有f（x）=g（x）h（x）（f（x），g（x）∈K[x]），而且g（x）是本原的，证明：h（x）∈K[x].

问答题设K是一个惟一分解整环，又f（x），g（x）∈K[x]．证明：若乘积f（x）g（x）是本原多项式，则f（x）与g（x）都是本原多项式

问答题设K是一个惟一分解整环．证明：可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子．

问答题设K是一个惟一分解整环．证明：ε是K的单位ε是K[x]的单位.