简答题

设f（z）在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数.试用柯西积分公式证明：.

问答题如果令ξ=Reiθ，z=reiφ，验证 并由的等式，证明 取其实部，得 u（x，y）=u（rcosφ，rsinφ）=. 这个积分称为泊松（Poisson）积分，通过这个公式，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示.

问答题根据柯西积分公式与，证明 其中C为∣z∣=R.

问答题如果f（z）=u+iv在区域D内处处解析，C为D内的正向圆周：∣z∣=R，它的内部全于D．设z为C内一点，并令= R2 ，试证.

问答题u（x，y）在（x0，y0）的值等于u（x，y）在圆域∣z-z0∣≤r0上的平均值，即u（x0，y0）=1 πr02∫0r0∫02πu（x0+rcosφ，y0+rsinφ）rdφdr.

问答题u（x，y）在（x0，y0）的值等于u（x，y）在圆周C上的平均值，即u（x0，y0）=1 2π∫02πu（x0+rcosφ，y0+rsinφ）dφ.