计算题

设

问V₁，V₂是不是向量空间？为什么？

问答题设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，···，ηn-r+1是它的n-r+1个线无关的解，则它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2++kn-r+1ηn-r+1（其中k1+···+kn-r+1=1）.

问答题设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1=2α1+3α2，β2=3α2+2α3，β3=2α3+3α1，试证：向量组β1，β2，β3线性无关。

问答题设η1，···，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，k2，···，ks，为实数，满足k1+···+k2=1，证明x=k1η1+k2η2+···+ksηs也是它的解.

问答题设有向量组（I）：α1=（1，3，4）T，α2=（1，1，2）T和向量组（Ⅱ）：β1=（4，5，9）T，β2=（-1，1，a）T。试问：a为何值时，向量组（I）与（Ⅱ）等价？当两个向量组等价时，求出它们相互表示的表示式。

问答题设向量α1=（1，2，3）T，α2=（2，3，a+3）T，α3=（1，a+2，a）T，β=（1，3，3）T。试讨论当a为何值时， （1）β不能由α1，α2，α3线性表示。 （2）β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式。 （3）β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一，并求出表示式。