计算题 设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f∈End_Z（Qp/Z）

问答题设R是交换么环，M为秩n的自由R-模，f∈EndRM，试证f为一一的模同态当且仅当f不是环EndRM的左零因子。

问答题设R为交换整环，M是秩n的自由R-模，u1，u2，…，un为一组基，f1，f2，…，fn∈M，K=是M的子模，证明K是秩n的自由R-模当且仅当 det（crdf1，crdf2，…，crdfn）≠0 且此时对x=x+K∈M K有 det（crdf1，crdf2，…，crdfn）·x=0

问答题设R为交换么环，η是R（n）的自同态．若η是R（n）的一一同态，试问η是否为R（n）的自同构？

问答题设R为交换么环，η是R（n）的自同态．试证η若为满自同态则必为R（n）的自同构．

问答题设X={x1，x2，x3}，求由生成的F（X）的正规子群五在K（X）中的指数．