计算题

设域F的特征p≠0，F（α1，α2，…，αn）是F的扩域，α1，α2，…，αn在F上代数无关，试证：[F（α1，α2，…，αn）：]=pⁿ

问答题设F是一个域，K=F（α）是f（x）=Irr（α，F）的分裂域，K的F一自同构的个数为m，试证m=redf（x）

问答题设域F的特征为p，又α∈F，而αFp.n∈Z，且n≥0．证明xpn-a是F[x]中不可约多项式．

问答题设F是一个域，f（x）∈F[x].f（x）在其分裂域K中有分解f（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-an）.证明，（R（f，f′）称为f（x）的判别式，记为Δ（f））

问答题令DerF[x]为F[x]的导子集合，在DerF[x]中定义加法：（D1+D2）（f（x））=D1（f（x））+D2（f（x））；再定义F[x]中元素与DerF[x]中元素的乘法：（f（x）D）（g（x））=f（x）D（g（x）），证明DerF[x]是一个左F[x]一模，且与左F[x]一模F[x]同构，

问答题设F是一个域，F[x]到自身的映射D如果满足： D（f（x）+g（x））=D（f（x）+D（g（x））） D（f（x）g（x））=D（f（x））g（x）+f（x）D（g（x）） D（a）=0，∀a∈f 那么称D是F[x]上的一个导子，证明： D（f（x）m）=mf（x）m-1D（f（x），∀f（x）∈F[x]，m∈N