简答题 设R是一个Jacobson环，即对R中每个元素a都有与a有关的整数n>1使aⁿ=a.证明：R的幂等元都是中心元.

问答题设R为布尔环，即环R中每个元素x都有x2=x.证明：若∣R∣≥3，则R不是整环.

问答题设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）.证明：若有二互素的整数m和n使 am=bm，an=bn， 则必a=b.

问答题设R是一个有单位元的环.如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元．证明卡普兰斯基（I.Kaplansky）定理：设R是一个有单位元（用1表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元．

问答题设R是一个有单位元（用1表示）的环，a，b∈R.证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元．

问答题证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元．