计算题

在水平液面上垂直插入一个半径为R的毛细管，此时液体将在表面张力的拉动下沿着管中上升。弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong－Laplace方程计算式中σ为气液表面张力，θ为气液界面与固壁之间的接触角，管中流体一方面受到毛细压强的驱动而上升，一方面又受到重力和粘性阻力的作用，设流动速度遵从粘性管流的Poiseuille分布，求：
（1）对于两端开口的毛细管，证明液位高度H随时间t的变化满足以下方程式中μ为液体的动力学粘度，ρg为重力。 
（2）对于上端封闭的毛细管，设总管长为l，管内气体满足理想气体状态方程，试推导相应的液位高度H的变化方程。 
（3）从上述方程中求出最大液位高度H和时间变化关系H（t），据此讨论H变化的趋势。

问答题对于放热反应，当反应器尺寸增大时，其体积按长度的三次方增长，而表面积却按平方增长，因此体积增大有利于热量的增加，而体积减小有利于冷却散热。这是化学工程中说明“放大效应”的一个典型例子。根据类似的道理解释为什么生活在寒冷地区的动物一般体型较大（例如北方人就比南方人高大），而且形状趋于圆滑，而热带地区的动物体型较小且趋于瘦长（例如南方人比北方人相对较瘦，且身体凸出部分的轮廓更为明显）。

问答题人体在自由空间中的射流形成一个夹角为α的圆锥型区域，如图所示，设U＝U（x）为距喷口x处的平均流速，R＝R（x）为x处的射流半径，试根据总动量pU2R2沿x方向守恒的要求确定速度U和射流区总流量Q=UR2沿x的变化关系（可相差一个常数）。

问答题对于固体颗粒在黏性流体中的Stock流动问题，颗粒受到的阻力f仅仅与颗粒尺度d，动力学粘度μ和速度υ有关，即f＝f（d，μ，υ）根据量纲齐次化的要求，物理方程等式两边的量纲应该相同，而有参数d，μ，υ组成的具有离地量纲的参量只可能是dμυ，因此上述函数关系只可能取一下形式，f＝Adμυ试中A是一个只与颗粒形状有关的常数，上式即为Stock定律。现根据上述量纲分析方法分析湍流的消磁度运动。湍流中存在一系列大小不同的涡旋，能量从大尺度涡旋顺序传递给消磁度涡旋，同时将机械能耗散为热能，其中最小的涡旋尺度称为Kolmogorov尺度，在这个尺度上，黏性和能量耗散占优，因此只有运动学粘度v（m2 s）和能量耗散速率ε（W Kg）两个产量起作用，其他物理量都可以用这两个量表示。试根据量纲齐次化原理推导出Kolmogorov尺度λ及局部速度υλ与v，ε的关系（可相差一个常数）。

问答题烯烃在Zieglar－Natta催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述，如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒（图中阴影部分）表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部，外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求： （1）证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述式中M为单体浓度（mol m3），ρs为聚合物壳层的密度（kg m3），D为单体在壳层中的扩散系数（m2 s），MW为单体的分子量，R为聚合物颗粒的半径。 （2）设催化剂核半径为rc，单体在外部气相本体中的浓度为MB，以上述参量为r和M的特征尺度，并引入适当的时间尺度，将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别（ρs ρg ~103）将问题进一步简化。 （3）设单体在催化剂核表面的浓度恒为0（瞬时反应），R的初始值为R0（R0>rc），求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径R随时间的变化关系。

问答题在管式反应器模型（1.4.15）中，当Pe→0时，相当于完全返混的情况。试从方程（4.15）出发，通过适当的体积积分和取极限Pe→0，导出均相釜式反应器模型。