计算题

令R是一个有单位元的交换环，N是R的全体幂零元作成的集合。证明：NR且商环R/N不含非零幂零元。

问答题设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合。证明：如果[x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy]是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的每一个类恰好是关于理想[0]的一个倍集。

问答题设Z[i]是Gauss整环，即Z[i]={a+bi|a，b∈Z}，其中Z是整数环。问：商环Z[i] （1+i）有多少个元素？是否为域？