计算题

设G是有限群，证明存在域F及其Galois扩张K，使得Gal（K/F）G.

问答题设F是域，ChF≠2.又x1，x2，…，xn是不定元，p1，p2，…，pn为x1，x2，…，xn的初等对称多项式，记Gal（F（x1，x2，…，xn） F（p1，p2，…，pn）为Sn.证明InvAn=F（p1，p2，…，pn，Δ）.其中Δ=

问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：[K：F]≥n

问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

问答题设域F的特征是p。试证xp-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为xp-x-a的分裂域，求Gal（K F）

问答题设是x3+x2-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r2-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r） Q）.