计算题

试计算矩阵的特征值及对应的特征向量：

问答题试证：如果φ（t）是x’=Ax满足初值条件φ（t0）=η的解，那么φ（t）=[expA（t-t0）]η。

问答题假设A是n×n矩阵，试证：对任意整数k，都有（expA）k=exp（kA）。（当k是负整数时，规定（expA）k=[（expA）-1]-k]。

问答题假设A是n×n矩阵，试证：对任意的常数c1，c2都有exp（c1A+c2A）=exp（c1A）·exp（c2A）。

问答题开口面积为Bcm2的装水容器，当水面高于开口处hcm时单位时间从开口处流出的水量为0.62B，其中g=980cm s2为重力加速度。现有直径为1m高为4m的圆筒容器，在底部开有直径1cm的孔，如图所示。问水多少时间流完及多少时间流出水量的一半。

问答题一车间体积为10800m3，开始时空气中含有0.12%的CO2（二氧化碳），为了保证工人的健康，用一台风量为1500m3 min的鼓风机鼓入含有0.04%CO2的新鲜空气，假设通入的空气与原有空气混合均匀后以相同的风量排出。问鼓风机开动10min后，车间中含有CO2的百分比降低到多少？