计算题 求一球壳内的轴对称稳态温度分布，设在球壳表面r=R₁上温度分布为已知T=f₁（θ）；在球壳内表面r=R₂上，温度分布为T=f₂（θ），试用Lengendre函数给出壳体内的温度分布。

问答题现代血液透析装置（人工肾）的原理类似于一个逆流列管式换热器，由大约一百万只微孔中空纤维管束组成，每只中空纤维的管壁为聚合物半渗透膜。当血液从管的一头注入向另一头流出时，有害溶质如尿酸等就透过管壁膜渗出管外，由管间的透析液体（通常不含尿酸）带出。溶质在中空纤维管中的流动与传递可由以下方程描述式中v0为血液流速（常数），D是溶质在血液中的扩散系数。设未透析的血液中含溶质浓度为c0，则入口端边界条件为式中cD为管外透析液中的溶质浓度（一般取为0），Kol为半渗透膜的传质系数，代表管壁和管外表面的传质阻力，即这里tw为管壁厚度，Dw为溶质通过管壁的扩散系数，k0为管外侧的传质系数。为了实时预测透析效果及透析速度v0的影响，需要求解上述问题。

问答题在原子能电站的反应堆中，球形的核燃料颗粒（铀或钚）在受控裂变时生成速率为Q的单位体积热源，这一热量必须通过流动的冷却剂移出反应器。为了了解和预测颗粒温度的变化，需要考虑不定常的热量衡算方程。对于单颗粒燃料，该方程为式中Tf为流动的冷却剂流体温度（常数）。试用分离变量法求出颗粒上的温度分布。

问答题设一半径为R的均质圆盘，周边维持在温度TR，上下表面与环境有热交换，初始温度为T0，则圆盘的温度分布可用以下问题描述式中a为导热系数，h为圆盘与环境的传热系数，Te为环境温度，试用分离变量法求出盘内的温度分布T（r，t）。

问答题证明对于周期边界条件 y（a）=y（b），y’（a）=y’（b）由方程（4.3.7a）所确定的特征函数在[a，b]内是带权ρ（x）正交的。

问答题将以下特征值问题化为sturm－Liouville方程的规范形式，并求出特征值和特征函数。