计算题

在原子能电站的反应堆中，球形的核燃料颗粒（铀或钚）在受控裂变时生成速率为Q的单位体积热源，这一热量必须通过流动的冷却剂移出反应器。为了了解和预测颗粒温度的变化，需要考虑不定常的热量衡算方程。对于单颗粒燃料，该方程为式中T_f为流动的冷却剂流体温度（常数）。试用分离变量法求出颗粒上的温度分布。

问答题设一半径为R的均质圆盘，周边维持在温度TR，上下表面与环境有热交换，初始温度为T0，则圆盘的温度分布可用以下问题描述式中a为导热系数，h为圆盘与环境的传热系数，Te为环境温度，试用分离变量法求出盘内的温度分布T（r，t）。

问答题证明对于周期边界条件 y（a）=y（b），y’（a）=y’（b）由方程（4.3.7a）所确定的特征函数在[a，b]内是带权ρ（x）正交的。

问答题将以下特征值问题化为sturm－Liouville方程的规范形式，并求出特征值和特征函数。

问答题在一降膜反应器中，液膜在重力下沿固壁表面向下流动，吸收气相中的反应组分并在液相中进行一级化学反应，参见图。设膜内流速分布由下式给出（此处y＝0为气液界面）则膜内反应物的浓度分布由以下方程描述中δ为膜厚，D为反应物在液相中的扩散系数，k为一级反应速率常数。边界条件为试导出上述问题的特征值问题，判断特征值和特征函数是否存在，给出其正交性定义。假设特征函数Yn（y）为已知，试给出膜内浓度分布c（x，y）的级数形式的解，并给出其中系数的计算公式。

问答题解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题。