案例分析题秦某（女，25岁，无业）自幼娇生惯养，成年后好逸恶劳，生活依靠父母。父母相继去世后，秦某失去了生活来源，便开始卖淫。她居无定所，经常在火车站、公园等处勾引嫖客进行卖淫活动。星期六的傍晚她在公园附近，遇到了来本市参加工作协调会的叶某（男，45岁，国家干部）。秦某主动与叶某搭讪，并对其进行挑逗和勾引，进而提出愿意与叶某发生两性关系。二人讲好嫖宿价格后，便去秦某租住的宾馆进行卖淫活动，宾馆服务员蒋某明知秦某是从事卖淫活动，却未予过问，直接安排房间给秦某和叶某二人进行卖淫嫖娼活动，秦与叶发生完性关系后，叶付给秦200元钱，两人准备离开房间时被派出所民警查获。民警将两人传唤至派出所讯问，并制作了讯问笔录。公安机关依法履行告知程序后，以“在公共场所拉客招嫖”和“卖淫”对秦某分别决定罚款500元、行政拘留10日并处罚款5000元，合并执行行政拘留10日、罚款5500元；以“嫖娼”对叶某决定警告并处罚款5000元。秦某服从处罚，民警当场对其收缴了罚款；叶某不服，申请行政复议，并提出让同来开会的李某（也系外地人，在当地无固定户口）作担保，申请暂缓执行对其的处罚决定。办案民警经派出所领导批准，同意叶某的申请，并办理了相关手续。 请根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，指出公安机关在办理本案时存在的问题，并说明理由。