甲因为琐事与乙发生争执，乙转身离去，甲则从地上捡起一根木头追上，朝乙头部猛击。乙倒地后，甲又朝其连击数下，致乙死亡。之后，甲又到乙办公室乱砸一气。甲作案后跳矿井自杀未遂。经查甲曾经到精神病院就诊，被诊断为患有精神病。案发后经鉴定，甲虽有精神病，但是对于其实施的上述行为具有一定的辨认、控制能力，是限制刑事责任能力人。对甲应当如何处理