计算题

设A为n阶实对称矩阵，A的n个特征值λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，证明：x∈Rⁿ，λ₁（x，x）≤（Ax，x）≤λ_n（x，x）（其中（x，y）=x^Ty表示x和y的内积），并指出分别取怎样的非零向量x使两个等号成立.

单项选择题二次型f（x1，x2，x3）=（x1+ax2-2x3）2+（2x2+3x3）2+（x1+3x2+ax3）2是正定二次型的充分必要条件是（）。

A.a〉1
B.a〈1
C.a≠1
D.a=1

问答题已知向量组α1=（1，-1，2，4），α2=（0，3，1，2），α3=（3，0，7，14），α4=（2，1，5，10），α5=（1，-2，2，0），求此向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

单项选择题若二次型f（x1，x2，x3）=t（x21+x22+x23）+2x1x2+2x1x3-2x2x3为正定的，则t的取值范围是（）。

A.（2，+∞）
B.（-∞，2）
C.（-1，1）
D.（-√2，√2）

单项选择题设A为n阶对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是（）。

A.二次型x^TAx的负惯性指数零
B.存在n阶矩阵C使得A=C^TC
C.A没有负特征值
D.A与单位矩阵合同

问答题设A为n阶正定矩阵，x=（x1，…，xn）T∈Rn，b是一固定的实n维列向量，证明：p（x）=xTAx-xTb，在x0=A-1b处取得最小值，且pmin=-bTA-1b.