简答题 设环R≠{0}有左单位元e.证明：如果R无右零因子，则e是环R的单位元．

问答题证明：环R的元素a≠0是正则元由axa=0可得x=0．

问答题证明：若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群.

问答题设R是一个有单位元的交换环．证明：0≠f（x）是R[x]的零因子有0≠c∈R使cf（x）=0.

问答题如果环R是单环或者R的所有非平凡理想都是域，则称R为NF-环．证明：若环R的阶为pq（p，q为互异素数），则 R是NF-环⇔R有单位元.

问答题设N1，N2是环R的两个理想，规定 N1N2={有限和∑aibi∣ai∈N1，bi∈N2}. 证明：N1N2R，且N1N2⊆N1∩N2.