计算题

设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

问答题设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

问答题设S是非零的反称实矩阵，证明：设A是正定矩阵，则丨A+S丨＞丨A丨。

问答题证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（Ak）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

问答题证明：如果Α1，Α2，...，Αs是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量α，使Α1α，Α2α，...，Αsα也两两不同.

问答题证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。