简答题

设N₁，N₂是环R的两个理想，规定
N₁N₂={有限和∑a_ib_i∣a_i∈N₁，b_i∈N₂}.
证明：N₁N₂R，且N₁N₂⊆N₁∩N₂.

问答题设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合．证明：如果 [x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy] 是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的一个类恰好是关干理想[0]的一个陪集．

问答题设Z[i]是Gauss整环，即 Z[i]={a+bi∣a，b∈Z}， 其中Z是整数环，问：商环Z[i] （1十i）有多少个元素？是否为域？

问答题设Cn=〈a〉为n阶循环群，Zn*为模n剩余类环Zn的单位群.证明： AutCn≌Zn*； 再由此利用数论结论证明： AutCn是循环群⇔n为2，4，pk，2pk（p为奇素数）.

问答题设R是一个正则环．证明：若R中元素a对R中任意元素都存在b∈R使 ax+b+axb=0， 则a=0.

问答题对正则环R中任二元素a，b都有R中幂等元e1，e2使 Ra=Re1，Ra+Rb=Re2.