简答题

如果环R是单环或者R的所有非平凡理想都是域，则称R为NF-环．证明：若环R的阶为pq（p，q为互异素数），则
R是NF-环⇔R有单位元.

问答题设N1，N2是环R的两个理想，规定 N1N2={有限和∑aibi∣ai∈N1，bi∈N2}. 证明：N1N2R，且N1N2⊆N1∩N2.

问答题设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合．证明：如果 [x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy] 是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的一个类恰好是关干理想[0]的一个陪集．

问答题设Z[i]是Gauss整环，即 Z[i]={a+bi∣a，b∈Z}， 其中Z是整数环，问：商环Z[i] （1十i）有多少个元素？是否为域？

问答题设Cn=〈a〉为n阶循环群，Zn*为模n剩余类环Zn的单位群.证明： AutCn≌Zn*； 再由此利用数论结论证明： AutCn是循环群⇔n为2，4，pk，2pk（p为奇素数）.

问答题设R是一个正则环．证明：若R中元素a对R中任意元素都存在b∈R使 ax+b+axb=0， 则a=0.