共用题干题

某段河道的河床截线呈抛物线形，河两岸相距100m，岸与河道最深处的垂直距离为10m，为了抗洪，现需要将河床改成梯形状（如图所示）.

试问：在改造过程中，将1m长的河道里挖出的淤泥运至河岸处至少需作多少功？（设1m³的淤泥重量为ρN.）

问答题试问：河道改造后的水流量是改造前的水流量的几倍？

问答题设f（x）、g（x）均在[a，b]上连续.证明：（f（x）g（x）dx）2≤f2（x）dxg2（x）dx，且等号仅当f（x）=Cg（x）或g（x）=Cf（x）时成立（C为常数）（柯西-施瓦茨不等式）.

问答题设有抛物线Γ：y=a-bx2（a＞0，b＞0），试确定常数a，b的值，使得Γ满足以下两个条件：（1）Γ与直线y=x+1相切；（2）Γ与x轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大.

问答题在区间[1，e]上求一点ξ，使得如图所示的阴影部分的面积为最小.

问答题如果f（x）是偶函数，证明f（t）dt为奇函数，并由此说明：f（x）的任意原函数是奇函数.