简答题 证明：环R的元素a≠0是正则元⇔由axa=0可得x=0．

问答题证明：若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群.

问答题设R是一个有单位元的交换环．证明：0≠f（x）是R[x]的零因子有0≠c∈R使cf（x）=0.

问答题如果环R是单环或者R的所有非平凡理想都是域，则称R为NF-环．证明：若环R的阶为pq（p，q为互异素数），则 R是NF-环⇔R有单位元.

问答题设N1，N2是环R的两个理想，规定 N1N2={有限和∑aibi∣ai∈N1，bi∈N2}. 证明：N1N2R，且N1N2⊆N1∩N2.

问答题设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合．证明：如果 [x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy] 是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的一个类恰好是关干理想[0]的一个陪集．