简答题

设Z[i]是Gauss整环，即
Z[i]={a+bi∣a，b∈Z}，
其中Z是整数环，问：商环Z[i]/（1十i）有多少个元素？是否为域？

问答题设Cn=〈a〉为n阶循环群，Zn*为模n剩余类环Zn的单位群.证明： AutCn≌Zn*； 再由此利用数论结论证明： AutCn是循环群⇔n为2，4，pk，2pk（p为奇素数）.

问答题设R是一个正则环．证明：若R中元素a对R中任意元素都存在b∈R使 ax+b+axb=0， 则a=0.

问答题对正则环R中任二元素a，b都有R中幂等元e1，e2使 Ra=Re1，Ra+Rb=Re2.

问答题再指出正则环的子环不一定是正则环.

问答题p-环是正则环，但反之不成立.